zapogi.ru 1


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ»
КАФЕДРА СТАТИСТИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

по дисциплине "ЭКОНОМЕТРИКА"

ВАРИАНТ № 5

Выполнил:

студент группы №

III курса (IV-годич.)

группа №


Санкт-Петербург

2009

1. По 10 банкам изучается зависимость прибыли (у – млн. руб.) от вложений в уставные капиталы предприятий (х – млн. руб.):



Прибыль, млн. руб.

Вложения в уставные капиталы предприятий, млн. руб.

1

55,3

20

2

50,2

25

3

60,9

35

4

62,8

42

5

63,9

47

6

64,5

50

7

65,5

55


8

66,8

63

9

67,9

70

10

69,3

80


  1. Построить поле корреляции рассматриваемой зависимости.

  2. Определить уравнение регрессии полулогарифметической модели: = а + b*lnх.

  3. Найти индекс корреляции и сравнить его с линейным коэффициентом корреляции. Пояснить причины различий.

  4. Найти среднюю ошибку аппроксимации.

  5. Рассчитать стандартную ошибку регрессии.

  6. С вероятностью 0,95 оценить статистическую значимость уравнения и коэффициента регрессии. Сделать выводы.

  7. С вероятностью 0,95 оценить доверительный интервал ожидаемого размера прибыли, если вложения в уставные капиталы предприятий составят 45 млн. руб.

решение


При изучении зависимости между двумя признаками графический метод подбора вида уравнения регрессии достаточно нагляден. Он основан на поле корреляции.



Рисунок 1.1. Поле корреляции, характеризующее зависимость прибыли от вложений в ставные капиталы предприятий.

Для определения параметров полулогарифмической функции используется система нормальных уравнений следующего вида:

.

Таблица 1.1

Определение параметров регрессии



у

у2

х

lnx



(lnx)2

у*lnx

1

55,3

3058,09

20

2,996

0,655

8,974

165,664

2

50,2

2520,04

25

3,219

0,344

10,361

161,588

3

60,9

3708,81

35

3,555

0,062

12,640

216,521

4

62,8

3943,84

42

3,738

0,005

13,970

234,726


5

63,9

4083,21

47

3,850

0,002

14,824

246,024

6

64,5

4160,25

50

3,912

0,011

15,304

252,325

7

65,5

4290,25

55

4,007

0,041

16,059

262,480

8

66,8

4462,24

63

4,143

0,114

17,166

276,761

9

67,9

4610,41

70

4,248

0,197

18,050


288,473

10

69,3

4802,49

80

4,382

0,333

19,202

303,674

Сумма

627,1

39639,63

487

38,051

1,764

146,550

2408,237

Среднее

62,710

3963,96

48,700

3,805

-

14,655

240,824



5,605

-

-

0,421

-

-

-


.

а = = 0,02;

b = = 16,428.


Итак, получили следующее уравнении регрессии: = 0,02 + 16,428*lnх.

Подставляя в уравнении регрессии фактические значения х, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитываем показатель тесноты связи – индекс корреляции.

ху =

Таблица 1.2

Расчет коэффициента корреляции



у







1

55,3

49,23

36,80

54,91

2

50,2

52,90

7,29

156,50

3

60,9

58,43

6,11

3,28

4


62,8

61,42

1,90

0,01

5

63,9

63,27

0,40

1,42

6

64,5

64,29

0,05

3,20

7

65,5

65,85

0,12

7,78

8

66,8

68,08

1,65

16,73

9

67,9

69,81

3,66

26,94

10

69,3

72,01

7,33

43,43

Сумма

627,1

625,30

65,31


314,19

Среднее

62,710

-

-

-

ху = = 0,89 – связь сильная.

Рассчитаем линейный коэффициент корреляции:

rxy = b* = 16,428* = 0,91 – данное значение близко к единице и означает наличие очень тесной зависимости прибыли от вложений в уставные капиталы предприятий.

Мы получили различие между индексом корреляции и линейным коэффициентом корреляции из-за различий в принимаемой базе при расчетах, т.е. в одном случае используется потенцированное значение, а в другом непотенциированное.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

= *100%.

Таблица 1.3

Расчет средней ошибки аппроксимации



у





1

55,3


49,23

0,110

2

50,2

52,90

-0,054

3

60,9

58,43

0,041

4

62,8

61,42

0,022

5

63,9

63,27

0,010

6

64,5

64,29

0,003

7

65,5

65,85

-0,005

8

66,8

68,08

-0,019

9

67,9

69,81

-0,028

10

69,3

72,01

-0,039


Сумма

627,1

625,30

0,040

= *0,040*100 = 0,4% - в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 0,4%.

Стандартная ошибка регрессии, как и ошибка аппроксимации, служит для оценки качества уравнения регрессии. Ошибка определяется по формуле:

S = = = 2,857.

f-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы Н0 о статической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнения фактического Fфакт и критического Fтабл значений f-критерия Фишера.

Fфакт определяется из соотношения:

Fфакт = = = 30,48,

где n – число единиц совокупности;

m – число параметров при переменных х.

Поскольку Fфакт > Fтабл. = 5,32, то Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Для параметров парной регрессии средняя ошибка оценки вычисляется:

mb = = = 2,151;


tb = = = 7,637.

Табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 и количестве степеней свободы 10 – 2 = 8 составляет 2,306.

Вывод: полученное значение критерия tb по модулю больше табличного, следовательно, можно отклонить гипотезу о несущественности коэффициента регрессии b.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если вложения в уставные капиталы предприятий составят 45 млн. руб., то вложения в уставные капиталы предприятий будут:

= 0,02 + 16,428*ln45 = 62,556 млн. руб.

Ошибка прогноза вычисляется по формуле:

m= ост* = 2,857* = 2,857*1,049 = 2,997.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

= tтабл* m = 2,306*2,997 = 6,911.

Доверительный интервал прогноза:

=   = 62,556  6,911;

min = -  = 62,556 – 6,911 = 55,645;


mах = +  = 62,556 + 6,911 = 69,467.

Итак, ожидаемый размер прибыли, если вложения в уставные капиталы предприятий составят 45 млн. руб., не выйдет с вероятностью 0,95 за пределы интервала [55,645; 69,467] млн. руб.

2. По 20 предприятиям региона, выпускающим однородную продукцию построена модель объема выпуска (у – тыс. ед.) от численности занятых (х1 - человек), элекровооруженности труда (х2 – кВт*час на 1 работника) и потерь рабочего времени (х3 - %). Результаты оказались следующими:

= а + 1,8*х1 + 3,2*х2 – 2,1*х3 R2 = 0,875

(2,1) (3,4) (4,9) (1,9)

В скобках указаны фактические значения t-критерия для параметров уравнения регрессии.

Кроме того, известна следующая информация:




Среднее значение

Коэффициент вариации, %

у

25

40

х1

420

20

х2

30

35

х3


18

10


  1. Дать интерпретацию коэффициентов регрессии и оценить их значимость. Сделать выводы.

  2. Оценить параметр а.

  3. Оценить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера с вероятностью 0,95. Сделать выводы.

  4. Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе и сделать выводы.

  5. Найти частные коэффициенты корреляции и сделать выводы.

  6. Дать интервальную оценку для коэффициентов регрессии.

  7. Определить частные средние коэффициенты эластичности и сделать выводы.

  8. Оценить скорректированный коэффициент множественной детерминации.