zapogi.ru 1
Статистическое моделирование.


Лекция 1.

Система случайных величин.


Рассмотрим опыт: суточная работа продуктового магазина. Поставим вопрос – сколько молока будет продано? Ответ на него – от случая зависит. Тогда переформулируем вопрос – какова вероятность различных событий, связанных с количеством проданного молока?

Теперь предположим, что начальный вопрос сформулирован так: сколько молока будет продано и какая будет общая выручка (за все товары)? Опять ответ будет звучать: от случая зависит. Тогда какова вероятность различных событий, связанных одновременно с количеством проданного молока и общей выручкой?

До сих пор речь в нашей теории шла только об одной случайной величине, теперь же мы столкнулись с системой случайных величин. В данном случае система представлена двумя случайными величинами.

Система двух случайных величин.


Рассмотрим для начала систему двух дискретных случайных величин.

В качестве опыта рассмотрим процесс обучения дисциплине в течение семестра и контроль выученного на предстоящем экзамене.

Пусть – дискретная случайная величина «будущая оценка на экзамене». Её возможным значениям соответствуют определенные вероятности. Пусть – дискретная случайная величина «будущее количество пропусков за семестр». Её возможным значениям соответствуют определенные вероятности.

Если опыт провести, то каждая случайная величина примет свое значение. Их можно записать как два события: . В итоге мы получим пару значений, которую обозначим как элементарное событие из всех возможных элементарных событий:










Это множество элементарных событий для нового опыта обозначим как совокупность 1. Для простоты записи можно использовать .

Если опыт провести, то обязательно произойдет только одно событие из множества элементарных событий. Оно же представлено совокупностью 1. Система (двух) случайных величин называют заданной, если известна совокупность 1 и вероятности, соответствующие событиям из этой совокупности. Также говорят, что известен закон распределения системы, если система задана.

По аналогии: . Имеют место все обычные свойства вероятностей: .

Будем считать, что закон распределения системы известен. Тогда во множестве элементарных событий системы рассмотрим событие (подмножество множества элементарных событий системы) – « примет значение »: . Тогда вероятность этого события равна . Подставляя все возможные значения , мы получим формулы для вычисления вероятностей всех элементарных событий случайной величины .

Аналогично введем событие – « примет значение »: . Тогда вероятность этого события равна . Подставляя все возможные значения , мы получим формулы для вычисления вероятностей всех элементарных событий случайной величины .


Таким образом, зная закон распределения системы, можно легко найти закон распределения любой случайной величины, входящей в эту систему. Эти две формулы показывают метод нахождения закона распределения дискретных случайных величин из закона распределения системы.

Теперь рассмотрим пересечение этих двух событий - . Эта формула напоминает нам, что пересечение двух событий есть одновременное осуществление обоих событий. Согласно теореме умножения:





Тогда значения условных вероятностей можно вычислить как:





Возможные значения случайной величины и соответствующие им условные вероятности будем называть условным законом распределения случайной величины при условии . Подставляя все возможные значения , мы получим условных законов распределения случайной величины . Эти условные законы характеризуют зависимость между случайными величинами в системе.

Аналогично возможные значения случайной величины и соответствующие им условные вероятности будем называть условным законом распределения случайной величины при условии . Подставляя все возможные значения , мы получим условных законов распределения случайной величины .


Условные законы распределения случайных величин и характеризуют их зависимость друг от друга в системе случайных величин. Таким образом, закон распределения системы – это её исчерпывающая характеристика. Если мы знаем закон распределения системы, то мы можем легко узнать законы распределения каждой случайной величины в системе, а также все условные законы распределения случайных величин при разных условиях.

Система трех случайных величин.


Рассмотрим аналогично три дискретных случайных величины – . Возможные значения каждой случайной величины:







Если опыт провести, то каждая дискретная случайная величина примет определенное значение. Тогда можно записать все результаты в одно элементарное событие: . Множество элементарных событий выглядит как все возможные тройки . Совокупность всех таких троек (элементарных событий) и соответствующих им вероятностей будем называть законом распределения системы трех случайных величин.











Вероятность каждого из событий равна сумме вероятностей точек, их составляющих. Зная закон распределения системы, можно найти закон распределения любой случайной величины системы.





Зная закон распределения системы, можно найти закон распределения любой подсистемы двух случайных величин системы трех случайных величин. Рассмотрим пересечение событий:






Эта формулы показывает, что закон распределения случайной величины зависит не только от возможных значений случайных величин и по отдельности, но и от всевозможных пар значений случайных величин .